Раздел B • Категория B15 (демонстрационный вариант-2012)

 
 
 

Условие задачи

Дано:

 

Вопрос:
сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, … x9, x10, которые удовлетворяют всем перечисленным выше условиям?

*примечание:  в ответе не нужно перечислять все различные наборы значений x1, x2, … x9, x10, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа вам нужно указать количество таких наборов.

 

Теоретические сведения

Логическое выражение – выражение, содержащее различные суждения, высказывания, изречения, операторы, операции, результатом вычисления которого является одно из двух предопределенных значения «Истина» или «Ложь».

Под преобразованием логических выражений, или упрощением логической формулы, понимается изменение исходного логического выражения в соответствии с законами алгебры логики, приводящее к логической формуле, в которой меньше конъюнкции и дизъюнкции, нет отрицаний неэлементарных формул.

Пример логического выражения: "Если  мне сообщат, что все школьники сдали ЕГЭ по информатике и ИКТ 2012 год на 100%, то я не поверю данной информации".

Основные логические операции в алгебре логики:

  • инверсия;

  • конъюнкция;

  • дизъюнкция;

  • импликация;

  • эквивалентность.

 

Решение

Сначала нужно понять, что означают символы, фигурирующие в заданных условиях (уравнениях), а именно: `-=`, `^^`, `vv``not`

  • `-=`  - данный символ означает логическую операцию эквиваленция;

  • `^^`  - данный символ означает логическую операцию конъюнкция (Логическое И);

  • `vv`  - данный символ означает логическую операцию дизъюнкция (Логическое ИЛИ);

  • `not`  - данный символ означает логическую операцию инверсия (Логическое НЕ).

Таблица истинности
(Эквивалентность)
  Таблица истинности
(Логические И)
  Таблица истинности
(Логическое ИЛИ)
  Таблица истинности
(Логическое НЕ)
A B A`-=` B A B A `^^` B A B A `vv` B A `not` A
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1

Также для решения исходной задачи нам потребуется один из главнейших законов булевой алгебры:

`not`(A `^^`B) = `not` A `vv` `not` B - закон де Моргана для логического умножения.

 

Проанализируем первое условие (логическое уравнение):

Давайте более детально посмотрим на минисистему логических уравнений, состоящую из двух уравнений.
Если a = 1 и одновременно с этим b = 1, то система уравнений не имеет решения, так как (II) уравнение не будет тождественным:  0 = 1 - не верно!

Если a = 0 и одновременно с этим b = 0, то система уравнений не имеет решения, так как (I) уравнение не будет тождественным: 0 = 1 - не верно!

Если a = 0 и одновременно с этим b = 1, то система уравнений имеет решение.
Если a = 1 и одновременно с этим b = 0, то система уравнений имеет решение.

 

 

Проанализируем второе условие (логическое уравнение) заданное по условию задачи (при анализе обязательно будем опираться на выкладки, полученные нами на предыдущем шаге):

Давайте более детально посмотрим на минисистему логических уравнений, состоящую из двух уравнений.
Если b = 1 и одновременно с этим c = 1, то система уравнений не имеет решения, так как (II) уравнение не будет тождественным:  0 = 1 - не верно!

Если b = 0 и одновременно с этим c = 0, то система уравнений не имеет решения, так как (I) уравнение не будет тождественным: 0 = 1 - не верно!

Если b = 0 и одновременно с этим c = 1, то система уравнений имеет решение.
Если b = 1 и одновременно с этим c = 0, то система уравнений имеет решение.

Ранее, мы уже приняли значение переменной b = 1 (x3 = x4), следовательно, значение переменной c = 0 (x5 `!=`  x6)

 

Если перейти к анализу третьего условия (логического уравнения), то получится "идентичная" ситуация, то есть будут построены похожие промежуточные системы уравнений и сделаны логические умозаключения, как и для предыдущих условий.

Очевидно, что после анализа третьего уравнения уравнения исходной системы уравнений количество различных вариантов решения увеличится в два раза и составит:

`*` 2 = 16[шт].

 

Аналогично очевидно, что после анализ четвертого уравнения исходной системы уравнений количество различных вариантов решения увеличится в два раза и составит:

16 `*` 2 = 32[шт].

 

ВНИМАНИЕ! Кульминационный момент задания!

 

Вывод:

существует 64 различных наборов значений логических переменных x1, x2, ..., x9, x10, которые удовлетворяют всем переменным условиям.

Ответ:

64

 
Рейтинг:
 
Проголосовало: 0
Количество просмотров: 1442
 
 
 

Раздел B • Категория B15 (демонстрационный вариант-2012)

 

Комментарии

Для комментирования или зарегистрируйтесь
 
 
© 2011-2019 ООО "СтадиМен". Все права сохранены.
Перепечатка и использование материалов с данного сайта, разрешена только по согласию с владельцем.
Владелец оставляет за собой право воспользоваться 146 статьей УК РФ при нарушении авторских и смежных прав.
 
 
 
 
Авторизация на сайте
 
 
 
Обнаружили
ошибку на сайте?