Раздел B • Категория B8 (демонстрационный вариант-2012)

 
 
 

Условие задачи

Дано:
запись числа 6710 в системе счисления с основанием N оканчивается на 1 и содержит 4 цифры.

 

Вопрос:
чему равно основание этой системы счисления N?

 

Теоретические сведения

Система счисления – специфический формат записи чисел с использованием некого набора специальных знаков.

Основание системы счисления – количество цифр (знаков), используемых в записи числа.

Классификация систем счисления:

  • позиционные;

  • непозиционные;

  • смешанные.

 

Специфика позиционных систем счисления: один и тот же числовой знак в записи любого числа может принимать различные значения, в зависимости от занимаемой им позиции.

Наиболее популярные позиционные системы счисления:

  • двоичная;

  • восьмеричная;

  • десятичная;

  • шестнадцатеричная.

 

Решение

I этап.

Запишем результирующее число в системе счисления с основанием N, оканчивающееся на 1 и содержащее 4 цифры в общем виде:

6710 → xyz1N (x > 1, N > 1)

 

II этап.

Поскольку число 6710 и число xyz1N - одно и то же по значению число, то имеет место математическое соотношение (используем правило перевода из произвольной системы счисления в десятичную систему счисления):

x · N3 + y · N2 + z · N1 + 1 · N0 = 67
x · N3 + y · N2 + z · N1 + 1      = 67
x · N3 + y · N2 + z · N1          = 67 - 1
x · N3 + y · N2 + z · N1          = 66

Детерминируем возможные значения N.

Если x = 1, y = 0, z = 0, то число xyz1N = 1001N - минимально возможное при заданном N.

 

Составим и решим неравенство (при x = 1, y = 0, z = 0):
1 · N3 + 0 · N2 + 0 * N1 <= 66
N3 <= 66
N <= 4, так как
43 = 64   <= 66 - верно,
53 = 125 <= 66 неверно!

Учтем, что N > 1, следовательно, N `in` [2 ... 4].

 

III этап.

Пусть N = 2, тогда максимальное значение число xyz12 будет принимать, когда x = y = z = 1:
11112 = 1 ·23 + 1 ·22 + 1·21 + 1·20 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15

15 <= 67, следовательно, N = 2 не является правильным ответом.

 

IV этап.

Если предположить, что N = 4, тогда, должно выполняться равенство:

67 = 4 · b + 1, где
67 - делимое;
4  -
делитель;
b  -
частное;
1  - остаток.

    67 = 4 · b + 1
67 - 1 = 4
· b
    66 = 4
· b
     b = 66 / 4 = 16.5
`!in` (множество натуральных чисел), следовательно, N = 4 не является правильным ответом.

 

V этап.

Методом исключения имеем N = 3.

 

Вывод:

основание искомой системы счисления равно 3.

Ответ:

3

 
Рейтинг:
 
Проголосовало: 2
Количество просмотров: 930
 
 
 

Раздел B • Категория B8 (демонстрационный вариант-2012)

 

Комментарии

Для комментирования или зарегистрируйтесь
 
 
© 2011-2019 ООО "СтадиМен". Все права сохранены.
Перепечатка и использование материалов с данного сайта, разрешена только по согласию с владельцем.
Владелец оставляет за собой право воспользоваться 146 статьей УК РФ при нарушении авторских и смежных прав.
 
 
 
 
Авторизация на сайте
 
 
 
Обнаружили
ошибку на сайте?